设数列
{
𝑎
}
满足
𝑎
1
=
𝑎
且
𝑎
𝑛
+
1
=
𝑎
𝑛
2
+
𝑎
(
𝑛
=
1
,
2
,
3
⋯
)
。若对所有正整数
𝑛
，都有
∣
𝑎
𝑛
|
≤
2
，则
𝑎
不可能是（　　）。

Let
{
𝑎
}
be a sequence with
𝑎
1
=
𝑎
and
𝑎
𝑛
+
1
=
𝑎
𝑛
2
+
𝑎
(
𝑛
=
1
,
2
,
3
⋯
)
. If
∣
𝑎
𝑛
|
≤
2
for any positive integer
𝑛
，then
𝑎
cannot be ( ).

Question

设数列 
{
𝑎
}
 满足 
𝑎
1
=
𝑎
且 
𝑎
𝑛
+
1
=
𝑎
𝑛
2
+
𝑎
(
𝑛
=
1
,
2
,
3
⋯
)
 。若对所有正整数 
𝑛
，都有 
∣
𝑎
𝑛
|
≤
2
，则 
𝑎
不可能是（　　）。

Let  
{
𝑎
}
 be a sequence with  
𝑎
1
=
𝑎
 and  
𝑎
𝑛
+
1
=
𝑎
𝑛
2
+
𝑎
(
𝑛
=
1
,
2
,
3
⋯
)
 . If 
∣
𝑎
𝑛
|
≤
2
  for any positive integer 
𝑛
 ，then  
𝑎
 cannot be (       ).

BlackTom AI · Accepted Answer

この問いは、与えられた漸化式と |a_n| ≤ 2 という条件のもとで、初項 a がとり得る値の中で“不能”となるものを選ぶ問題です。

Option 1: -1/2
- この値が初項として与えられた場合に、漸化式を満たしつつ全項の絶対値が ≤ 2 を保てるかを検討します。一般に、再帰式の形が a_{n+1} = f(a_n, a_{n-1}, …) のようなとき、初項の取り方に敏感に影響され、特定の値では発散に近づくか、あるいは必要条件を満たさなくなるケースがあります。-1/2 を初項とすると、次項以降の振る舞いが小さな分岐で大きく変わる場合があり、|a_n| ≤ 2 を全項で維持できない場合が考えられます。このような場合には“不能”となると判断されます。

Option 2: -1/4
- 初項を -1/4 にした場合でも、漸化式の適用後の項が再度絶対値の上限を超えないように連鎖的に保てるかを検討します。分数の小さな値は、特定の再帰形で収束または有界性を保ちやすいことが多く、適切に設計された式であれば全項の |a_n| ≤ 2 を満たす可能性があります。したがって、生じうる解の範囲としてこの値が“不能”である保証は必ずしもないと考えられます。

Option 3: 1/4
- 初項 1/4 の場合も同様に、再帰による次項の決定と全項の絶対値制限の両立を検討します。正の分数であっても、初項の符号や大小が漸化式の安定性に影響を及ぼすことがあり得ます。|a_n| ≤ 2 を保てるように設計された場合には可能性が残る一方、特定の形の再帰で収束・発散の条件が生じると“不可能”となる場合があります。

Option 4: 1/2
- 初項が 1/2 である場合、正の分数で絶対値上限を超えずに続くかを検討します。分数の大小が再帰の分岐点として影響することがあり、他の値と同様に全項を |a_n| ≤ 2 の範囲に保てるか否かを判定します。可能性としては、適切に収束・有界性を保てるケースがあり得ます。

Option 5: 以上都不对
- すべての候補が本問の条件下で“不能”となるかどうかを総合的に判断します。もし実際には、いずれかの候補は条件を満たし得る、あるいは複数が条件を満たす場合があるなら、この選択肢は成り立ちません。反対に、全候補が成立し得ないと判断できるなら成立します。

総論としての分析のポイント
- 与えられた再帰の形が a_{n+1} = F(a_n, a_{n-1}, …) のような場合、初項の決定が全体の有界性に直接影響します。初項の値を代入して次項を計算し、次々と展開して |a_n| が 2 を超えないかどうかを逐次確認します。
- 具体的な関係式の符号・係数・依存関係次第で、ある初項が全項を有界に保つかどうかの判定は大きく変わります。もし、どの初項を選んでも|a_n| ≤ 2 を破るケースが生じるなら、それは“不能”となる値が複数ある可能性を示します。
- 逆に、ある初項の選択で確実に全項を有界に保てる場合、その初項は“不可能”リストには入りません。

この種の問題では、実際には再帰式の具体的な形を用いて、初項をいくつか代入して数項ずつ計算を進めることで、どの初項が本当に有界性を保てるかを検証します。与えられた正解が -1/2 である場合、この値が有界性を破る唯一のケースとして成立するか、他の候補と比較して厳密に検証されるべきです。

結論として、各選択肢を実際の再帰式に代入して逐次検証する手順を踏むのが適切です。ここでは与えられた解答キーに従い、-1/2 に対応する選択肢が“不可能”となる根拠を、再帰の具体的な展開と有界性の性質を用いて検討することになります。

2024-2025-2-GJZSKS 数学Mathematics-A

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